Переходы, индуцированные взаимно коррелированными гауссовскими белыми шумами: метод эффективного потенциала

Abstract

Рассматривается стохастическая нелинейная система первого порядка с одной динамической переменной, детерминированной силой и двумя взаимно коррелированными гауссовскими белыми шумами, один из которых аддитивный, другой – мультипликативный. Для соответствующего стохастического дифференциального уравнения используется произвольное исчисление, которое, в частности, включает исчисление Ито и исчисление Стратоновича. В виде квадратуры записывается точное выражение эффективного потенциала системы, которое раскладывается в ряд Маклорена. Из общих соображений показывается, что индуцированные взаимно коррелированными гауссовскими белыми шумами переходы от одномодального вероятностного распределения состояния системы к двухмодальному могут качественно описываться нормальной формой бифуркации типа вил, возмущаемой аддитивным гауссовским белым шумом. Еѐ явный вид получен для конкретного примера системы с линейной восстанавливающей силой и мультипликативным шумом, пространственная составляющая амплитуды которого является квадратичной при малых по абсолютной величине значениях динамической переменной и постоянной – при больших. Построенные графики как одноямного, так и двухъямного эффективного потенциала системы для точного выражения и разложенного в ряд хорошо со- гласуются друг с другом в окрестности нуля – критической точки. Изучены зависимости бифуркационного параметра от параметров шумов. Установлено, что при варьировании коэффициента взаимной корреляции шумов или амплитуды мультипликативного шума бифуркационный параметр изменяется по линейному закону, а при варьировании амплитуды аддитивного шума – по нелинейному.

We consider a first-order one-variable stochastic nonlinear system with a deterministic force and two cross-correlated Gaussian white noises, one of them is additive, and the other is multiplicative. We use an arbitrary interpretation of the corresponding stochastic differential equation that includes in particular the Ito interpretation and the Stratonovich one. We write an exact expression for the effective potential for the system in the form of a quadrature, which is expanded into Maclaurin series. It is shown from general considerations that transitions from unimodal to bimodal probability distribution of the system state induced by cross-correlated Gaussian white noises can be qualitatively described by the normal form of the pitchfork bifurcation perturbed by additive Gaussian white noise. Its explicit expression is obtained for a concrete example of the system with a linear restoring force and multiplicative noise, whose statedependent amplitude is quadratic for small absolute values of the dynamic variable and constant for large ones. We plot graphs of both single-well and double-well effective potentials of the system using the exact expression and the power series approximation. They are in good agreement with each other in the vicinity of the critical point (origin). Relations between the bifurcation parameter and the noise parameters are investigated. It is determined that the bifurcation parameter changes linearly as the cross-correlation coefficient of the noises or the amplitude of the multiplicative noise are varied, and it changes nonlinearly as the amplitude of the additive noise is varied.

Розглядається стохастична нелінійна система першого порядку з однією динамічною змінною, детермінованою силою та двома взаємно корельованими гаусівськими білими шумами, один з яких адитивний, інший – мультиплікативний. Для відповідного стохастичного диференціального рівняння використовується довільне числення, яке, зокрема, включає числення Іто та числення Стратоновича. У вигляді квадратури записується точний вираз ефективного потенціалу системи, який розкладається в ряд Маклорена до четвертого порядку включно. Із загальних міркувань показується, що індуковані взаємно корельованими гаусівськими білими шумами переходи від одномодального (з одним максимумом – модою) імовірнісного розподілу стану системи до двомодального (з двома максимумами) можуть якісно описуватися нормальною формою біфуркації типу вил, що збурюється єдиним адитивним гаусівським білим шумом. Її явний вид отримано для конкретного прикладу системи з лінійною відновлювальною силою та мультиплікативним шумом, просторова складова амплітуди якого є квадратичною при малих за абсолютною величиною значеннях динамічної змінної й постійною – при великих. Побудовані графіки як одноямного, так і двох’ямного ефективного потенціалу системи для точно- го виразу і розкладеного в степеневий ряд добре узгоджуються один з одним в околі нуля – критичної точки. Вивчено залежності біфуркаційного параметра від параметрів шумів. Встановлено, що при варіюванні коефіцієнта взаємної кореляції шумів або амплітуди мультиплікативного шуму біфуркаційний параметр змінюється за лінійним законом, а при варіюванні амплітуди адитивного шуму – за нелінійним.