Nonrelativistic Bound State Solutions of the Modified 2D-Killingbeck Potential Involving 2D-Killingbeck Potential and Some Central Terms for Hydrogenic Atoms and Quarkonium System

Abstract

У роботі представлена нова нерелятивістська аналітична модель, яка використовується для модифікації рівняння Шредінгера для атомних масштабів з двовимірним модифікованим потенціалом Кіллінгбека (2DMKBP) для гідрогенних атомів і кварконієвої системи в некомутативній двомірній реальній просторовій фазі (NC: 2D-RSP). Ми застосували узагальнений метод зсуву Боппа, щоб отримати 2DMKBP, що включає звичайний двовимірний потенціал Кіллінгбека (2DKBP) і деякі центральні доданки пропорційні двом нескінченно малим параметрам (θ,θ). Ми також спостерігали новий кінетичний доданок, що складається із звичайного кінетичного доданку і адитивної частини, пропорційної нескінченно малому параметру θ. Крім того, глобальний оператор Гамільтона для 2DMKBP включає три фундаментальні частини: перша – це звичайний оператор Гамільтона в комутативній квантовій механіці (CQM), друга частина – спин-орбітальний оператор Hso-k (r, θ, θ), а третя – модифікований оператор Зеємана Hz-k (r, χ, σ). Таким чином, загальна енергія буде включати крім звичайної енергії в CQM дві головні поправки (Ed-k (n, j= l-1/ 2,l,s), Eu-k (n, j= l+1/2,l,s)) і Ez-k (n,m,a,b,c), що відповідає спін-орбітальній взаємодії і модифікованому ефекту Зеємана відповідно. Основні енергетичні рівні Enc-(u-d)clh (n,b,c,j,l,s,m) залежать від дискретних атомних квантових чисел ( j,l,s, m) та параметрів (a,b, c) потенціалу, що розглядається. Крім того, отримані результати узагальнено з урахуванням кварконієвої системи (( y(bb) та Ψ (cc)). Ми також показали, що масспектри кварконієвої системи були змінені на нові форми. Попередні результати в CQM стають особливими випадками, коли ми одночасно використовуємо два обмеження (θ,θ) → (0,0).

In the paper, a new nonrelativistic analytical model is presented and used to modify the Schrödinger equation for atomic scales with two dimensional modified Killingbeck potential (2DMKBP) for the hydrogenic atoms and quarkonium system in noncommutative two-dimensional real space-phase (NC: 2D-RSP). We applied the generalized Bopp’s shift method to obtain 2DMKBP involving ordinary 2D-Killingbeck potential (2DKBP) and some central terms proportional to the two infinitesimals parameters (θ,θ). We have also observed the new kinetic term composed of ordinary kinetic term and additive part proportional to infinitesimals parameter θ. Furthermore, the global Hamiltonian operator for 2DMKBP involves three fundamental parts: the first one is the ordinary Hamiltonian operator in commutative quantum mechanics (CQM), the second part is the spin-orbit operator Hso-k (r, θ, θ), while the third is the modified Zeeman operator Hz-k (r, χ, σ). Thus, the global energy will include in addition to the ordinary energy in CQM two principal corrections (Ed-k (n, j= l-1/ 2,l,s), Eu-k (n, j= l+1/2,l,s)) end Ez-k (n,m,a,b,c) corresponding to the spin-orbit interaction and modified Zeeman effect, respectively. The global energy levels Enc-(u-d)clh (n,b,c,j,l,s,m) depend on discrete atomic quantum numbers ( j,l,s, m) and the parameters of studied potential (a,b, c). Moreover, we have generalized the obtained results to include the quarkonium system ( y(bb) та Ψ (cc)). We have also shown that the mass spectra of quarkonium system were changed to the new forms. The previous results in CQM become special cases when we make the simultaneously two limits (θ,θ) → (0,0).