Nonlinear Model of Ice Surface Softening during Friction Taking into Account Spatial Heterogeneity of Temperature

Abstract

Запропоновано нелінійну модель в’язкопружного середовища, яка представляє розм’якшення тонкого шару поверхні льоду при терті. Це перетворення описується на основі таких трьох основних рівнянь: рівняння Кельвіна-Фойгта для в'язкопружного середовища, релаксаційних рівнянь типу Ландау-Халатнікова для зсувних напружень і теплопровідності. Показано, що дані рівняння формально збігаються з синергетичною системою Лоренца, де параметр порядку зводиться до деформації зсуву, напруження є спряженим полем, і температура відграє роль керувального параметра. В роботі здійснено подальший розвиток нелінійної моделі розм’якшення тонкого шару поверхні льоду при терті з урахуванням просторової неоднорідності температури в рівнянні теплопровідності. В рамках адіабатичного та одномодового наближень знайдено аналітичний солітонний розв’язок одновимірного параболічного рівняння для просторового нормального до поверхні льоду розподілу зсувної деформації. Завдяки числовому розв’язку одновимірного диференціального рівняння Гінзбурга-Ландау, отриманий та описаний розподіл сили тертя по розм’якшеному приповерхневому шару льоду. Розглядаються дві фізичні ситуації: 1) верхня і нижня поверхні рухаються з рівними за величиною швидкостями у протилежних напрямках; 2) верхня поверхня зсувається по нерухомій нижній. Побудовані координатні залежності сил тертя у різний час та показано еволюцію системи до стаціонарного стану. Показано, що зростання часу та температури термостату приводить до більш різкої зміни сили тертя по товщині розм’якшеного приповерхневого шару льоду, тобто збільшується відносна швидкість зсуву тертьових поверхонь.

A nonlinear model of a viscoelastic medium is proposed, which describes softening of a thin layer of the ice surface during friction. The description of this transformation is based on the three following basic equations: the Kelvin-Voigt equation for a viscoelastic medium, the relaxation equations of Landau-Khalatnikov-type and for heat conductivity. It is revealed that mentioned equations coincide formally with the synergetic Lorenz system, where the order parameter is reduced to the shear strain, the stress acts as the conjugate field, and the temperature plays the role of the control parameter. The work further develops a nonlinear model of ice surface softening during friction, taking into account the spatial inhomogeneity of temperature in the equation of heat conductivity. In the framework of one-mode and adiabatic approximations an analytical soliton solution of a one-dimensional parabolic equation for the spatial normal distribution of shear strain to the ice surface is found. Due to the numerical solution of the one-dimensional Ginzburg-Landau differential equation, the distribution of friction force over the softened surface layer of ice is obtained and described. Two physical situations are considered: 1) the upper and lower surfaces move with equal velocities in opposite directions; 2) the upper surface is sheared along the fixed lower one. The coordinate dependencies of the friction force at different times are constructed and the evolution of the system to a stationary state is described. It is shown that the growth of time and background ice temperature leads to a sharper change of the friction force along the thickness of the premelted surface layer of ice, i.e. the relative shear velocity of the rubbing surfaces increases.