Extremal problems in the theory of central Wiman-Valiron index

Abstract

We consider some properties of central index in Wiman-Valiron index. We introduce the notion of a determining sequence of a central index 𝜈(𝑟) corresponding to a fixed transcendental function 𝑓 and the notion of a determining sequence for an arbitrary fixed central index 𝜈(𝑟). Let 𝜌1, 𝜌2, . . . , 𝜌𝑠, . . . be the points of the jumps of the function 𝜈(𝑟) taken counting their multiplicities. This means that if at a point 𝜌𝑠 the jump is equal to 𝑚𝑠, then the quantity 𝜌𝑠 appears 𝑚𝑠 times in this sequence. Such sequence is called determining sequence of the function 𝜈(𝑟). We introduce the notion of the regularization of the function 𝜈(𝑟), which is employed for proving main statements. We study two extremal problems in the class of functions with a prescribed central index. We obtain the expression for the maximum of the modulus of the extremal function in terms of its central index. The main obtained results are as follows. Let 𝑇𝜈 be the set of all transcendental functions 𝑓 with a prescribed central index 𝜈(𝑟), 𝑀(𝑟, 𝑓) = max{|𝑓(𝑟𝑒𝑖𝜃)| : 0 6 𝜃 6 2𝜋}, and let 𝑀(𝑟, 𝜈) = sup{𝑀(𝑟, 𝑓) : 𝑓 ∈ 𝑇𝜈}. Then for each 𝑟 > 0, in the class of the functions 𝑇𝜈, the quantity 𝑀(𝑟, 𝜈) is attained at the same function for all 𝑟 > 0. We describe the form of such extremal function. We also prove that for each fixed 𝑟0 > 0 and for each prescribed central index 𝜈(𝑟), in the class 𝑇𝜈 there exists a function 𝑓0(𝑧) such that 𝑀(𝑟0, 𝑓0) = inf{𝑀(𝑟0, 𝑓) : 𝑓 ∈ 𝑇𝜈}.

Рассмотрены некоторые свойства центрального индекса в теории Вимана-Валирона. Вводятся понятие определяющей последовательности центрального индекса ν(r), соответствующего фиксированной трансцендентной функции f, и понятие определяющей последовательности произвольного фиксированного центрального индекса ν(r). Пусть ρ1,ρ2,…,ρs,… – точки скачков функции ν(r) с учетом их кратностей. Это означает, что если в точке ρs величина скачка равна ms, то в написанной выше последовательности величина ρs встречается ms раз. Такая последовательность называется определяющей последовательностью функции ν(r). Вводится понятие регуляризации функции ν(r), которая применяется для доказательства основных утверждений. Изучены две экстремальные задачи в классе функций с заданным центральным индексом. Получено выражение максимума модуля экстремальной функции через ее центральный индекс. Основные полученные результаты таковы. Пусть Tν — множество всех трансцендентных функций f с заданным центральным индексом ν(r), M(r,f)=max{|f(reiθ)|:0⩽θ⩽2π}, и пусть M(r,ν)=sup{M(r,f):f∈Tν}. Тогда для любого r>0 величина M(r,ν) в классе функций Tν достигается на функции (одной и той же для любого r>0). Приводится вид такой экстремальной функции. Доказывается также, что при любом фиксированном r0>0 и при любом заданном центральном индексе ν(r) в классе Tν существует функция f0(z) такая, что M(r0,f0)=inf{M(r0,f):f∈Tν}.