Diffraction of E-polarized Photons on Periodic Grating of Metal Strips

Abstract

Розв’язана задача про дифракцію Е-поляризованих фотонів при нормальному падінні на ґратку, утворену необмеженою послідовністю нескінченно тонких металевих стрічок. Світло представляється як потік частинок – фотонів. Задача знаходження псі-функції фотона, розсіяного ґраткою, зводиться до граничної задачі Рімана-Гільберта. Розв’язок задачі отримано у вигляді нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що сходиться. Система придатна для будь-яких співвідношень між довжиною хвилі та періодом структури та будь-яких співвідношень між шириною щілини та періодом ґратки. Як витікає із порівняння де Бройлівського представлення псі-функції з її розкладом у ряд Фур’є, можливі значення складової імпульсу фотона, перпендикулярної до первинного напрямку руху, визначаються парними значеннями "кванта" імпульсу, величина яких залежить від періода ґратки. Фотони, пропущені або відбиті ґраткою, отримують дискретні значення імпульсу внаслідок взаємодії з ґраткою і відхиляються на дискретні кути від первинного напрямку. Як випливає з чисельних розрахунків, дифракційні максимуми розташовуються перед щілиною і мають деяку внутрішню структуру залежно від співвідношення між довжиною хвилі та періодом ґратки. При збільшенні відношення періоду ґратки до довжини хвилі дифракційний пік розділяється. Дифракційна картина спостерігається, коли це відношення більше одиниці. Коли воно стає менше одиниці, дифракційна картина зникає, маємо однорідну освітленість. Отже, значення вказаного відношення рівне одиниці є пороговим.

The problem of diffraction of E-polarized light at normal falling on a grating of infinitely thin metallic strips is solved. Light is represented as a flux of particles – photons. The problem of determining the psifunction of a photon scattered by the grating is led down to the Riemann-Hilbert boundary problem. A strict solution is obtained in the form of a convergent infinite system of linear algebraic equations. The system equations are valid for any relation between wavelength and period of the structure and any relation between slit width and strip width. As follows from a comparison of the de Broglie representation of the psi-function and its decomposition into Fourier series, the possible values of the photon momentum component perpendicular to its initial direction of motion are determined by even values of the "quantum" of momentum, whose magnitude is determined by the grating period. Photons passed through or reflected by the grating get discrete values of momentum when interacting with the grating and deviate at discrete angles. Numerical calculations show that the diffraction maxima are located in front of the slit and have some internal structure that depends on the ratio between the grating period and the photon wavelength. As the ratio of the grating period to the photon wavelength increases, the diffraction peak splits. When the ratio becomes less than unity, the diffraction pattern disappears, we have a uniform illumination. Therefore, the value of the specified ratio, equal to one, is the threshold.