Theory of Spin Waves in a Circular Nanotube Composed of an Easy-Plane Ferromagnet. Consideration of the Dissipation for a Non-metallic External Medium

Abstract

В роботі продовжується дослідження дипольно-обмінних спінових хвиль у коловій нанотрубці з легкоплощинного феромагнетику, розпочате автором у попередній статті. Запропонована модель враховує магнітну диполь-дипольну взаємодію, обмінну взаємодію, ефекти анізотропії, ефекти згасання та загальні граничні умови. Отримано рівняння для магнітного потенціалу зазначених хвиль; рівняння розв'язано для випадку поздовжньо-радіальних хвиль. Як результат, отримано закон дисперсії для досліджуваних хвиль. Після накладання граничних умов зазначений закон дисперсії доповнено співвідношенням між компонентами хвильового вектору. Показано, що для тонкої нанотрубки це співвідношення вироджується в квазіодновимірний спектр значень поперечних хвильових чисел. Для отриманих спектральних характеристик представлено графічне відображення та зроблено числові оцінки. Частота спінової хвилі (розрахована відповідно до отриманого закону дисперсії) для типових значень параметрів нанотрубок відповідає типовим значенням, що спостерігаються в експериментах – що підтверджує отримані результати. Проведено порівняльний аналіз закону дисперсії, отриманого в роботі, з аналогічним законом для нанотрубки з легкоосьового феромагнетику; окреслено відмінності та подібності. Показано, що гілки залежностей (які відповідають різним поперечним модам) як дійсної, так і уявної частин частоти спінової хвилі від поздовжньої компоненти хвильового вектора близькі до параболічних і суттєво віддалені одна від одної. Область застосування отриманих результатів є суттєво ширшою порівняно з попередньою роботою. Запропонований у роботі метод може бути застосований до нанотрубок більш складної конфігурації.

The paper extends study of dipole-exchange spin waves in a circular nanotube composed of an easyplane ferromagnet started by the author in the previous paper. The proposed model considers the magnetic dipole-dipole interaction, the exchange interaction, the anisotropy effects, the damping effects and the general boundary conditions. An equation for the magnetic potential has been obtained for such waves and solved for the case of longitudinal-radial waves. As a result, the dispersion law for the investigated waves has been obtained. After implying boundary conditions, this dispersion law has been complemented with the relation between the wave vector components. This relation has been shown to degenerate into a quasione-dimensional values’ spectrum of the orthogonal wave vector component for a thin nanotube. For the obtained spectral characteristics, graphical representations have been given and numerical evaluations have been performed. The spin wave frequency (calculated according to the obtained dispersion law) for typical values of the nanotube parameters corresponds to typical values observed in experiments, thus substantiating the obtained results. Comparative analysis of the dispersion law obtained in the paper and the analogous law for a nanotube composed of an easy-axis ferromagnet has been performed; differences and similarities have been outlined. It has been shown that branches (that correspond to different orthogonal modes) of the dependencies on the longitudinal wave vector components for both real and imaginary parts of the spin wave frequency are close to parabolic and are essentially apart from each other. The area of application of the obtained results is essentially extended compared to the previous paper. The method that is proposed in the paper can be applied to nanotubes of more complex configurations.