Використання синергетичного підходу при моделюванні переходів між режимами транспортного потоку

Abstract

Дисертаційна робота присвячена дослідженню динаміки транспортного потоку як відкритої фізичної системи з великою кількістю взаємодіючих елементів, що демонструє властивості складних нелінійних середовищ: фазові переходи, біфуркації, нестійкість та самоподібну поведінку. Основну увагу приділено фізико-математичному моделюванню механізмів утворення заторів, дослідженню умов втрати стійкості та переходу між режимами вільного руху і накопичення транспортних засобів, а також аналізу впливу детермінованих та стохастичних факторів на поведінку системи. У роботі розглянуто три взаємодоповнюючі підходи до опису еволюції транспортного потоку: (1) детермінована система, що базується на класичних рівняннях типу Лоренца, (2) стохастична модель, побудована на рівнянні Фоккера–Планка, та (3) комплексна нелінійна система зі змінними, що відображають фазову структуру потоку. Усі моделі структурно пов’язані між собою і репрезентують різні аспекти складної поведінки транспортних потоків у середовищах з неоднорідністю, запізненням реакції та зовнішніми збуреннями. У другому розділі побудовано нелінійну модель транспортного потоку за аналогією з класичними рівняннями Лоренца. Модель описує взаємодію між механізмами гальмування, прискорення та реакцією на зміну дистанції до попереднього автомобіля в рамках відкритої фізичної системи з динамічними характеристиками руху. Динаміка системи формалізується тривимірною системою диференціальних рівнянь з нелінійними зв’язками, де основними змінними є відхилення від оптимальної дистанції η, швидкість v і характерний час реакції τ. Проведено якісний аналіз динаміки системи: побудовано фазові портрети, здійснено лінеаризацію біля рівноважних точок та визначено умови виникнення фазових переходів. Особливу увагу приділено впливу параметра τₑ (часу досягнення характерної швидкості) та релаксаційних коефіцієнтів γ і κ на стійкість системи. Встановлено критичні значення параметрів, при яких відбувається втрата стійкості з переходом до багатофазного режиму руху. Показано, що зміна локальних параметрів, таких як середній час реакції, може ініціювати макроскопічні зрушення в поведінці системи, що демонструє типову багаторівневу відповідь фізичних систем на мікроскопічні варіації параметрів. У межах моделі досліджено, як різні сценарії реагування водіїв впливають на динамічну стабільність потоку. З’ясовано, що за коротких часів реакції система зберігає стійкість навіть навіть коли міжавтомобільні інтервали суттєво скорочуються, тоді як повільна адаптація призводить до автоколивань і переходу до нестійких режимів. Побудовано карти фазових траєкторій для різних початкових умов і параметрів, що характеризують інтенсивність гальмування та прискорення. Здійснено класифікацію типових режимів динаміки залежно від співвідношень релаксаційних параметрів. Виявлено зони багатостійкості, де система здатна перебувати в кількох стабільних станах залежно від збурень. Описано сценарії різкого переходу до затору, викликаного локальним порушенням однорідності потоку. Така поведінка моделі узгоджується з емпіричними спостереженнями реального трафіку. Третій розділ присвячено дослідженню стохастичних ефектів у динаміці транспортного потоку. На основі рівняння Фоккера–Планка побудовано модель, яка враховує вплив флуктуацій Λ на еволюцію системи. Основними змінними виступають параметр порядку r (щільність потоку) та фазова змінна φ, що характеризує зміну швидкості. Показано, що випадкові збурення з інтенсивністю Dφ можуть індукувати самозбуджені переходи між режимами навіть за відсутності зовнішнього впливу. Для дослідження таких переходів проведено чисельне моделювання траєкторій системи в умовах флуктуацій різної інтенсивності. Виявлено, що за певних критичних значень Dφ спостерігається автоколивальний режим зі зростанням ентропійної складності. Такий режим супроводжується формуванням нестійких локальних кластерів, які можуть конденсуватися у макроструктури з підвищеною щільністю, відображаючи механізми фазових переходів та кластероутворення, аналогічні до процесів у фізиці конденсованих середовищ або нестабільної плазми. Досліджено вплив характеру шуму на поведінку системи. Показано, що некорельовані випадкові збурення здебільшого зумовлюють випадковий розпад стабільного потоку, тоді як корельовані флуктуації здатні викликати регулярні автоколивання. Встановлено, що при узгодженні часових масштабів внутрішніх коливань із зовнішніми флуктуаціями реалізується ефект резонансного підсилення шумом, який може слугувати індикатором наближення системи до критичного стану. Також побудовано спектри самоподібності часових рядів та здійснено оцінку ентропійної складності як функції від параметра Λ. Самоподібна поведінка виявлена як характерна ознака перехідного процесу від рівноважного до турбулентного режиму, що вказує на наявність фазового переходу. Запропоновано фізичну інтерпретацію цього явища як результату колективної дії флуктуацій і нелінійної взаємодії у щільному транспортному середовищі. У четвертому розділі досліджено узагальнену комплексну модель Лоренца, що враховує фазову структуру транспортного потоку, включаючи частотну розстройку Δ та симетрійні властивості динамічної системи. Змінні моделі описують просторово-часову еволюцію швидкості та фази, що дозволяє аналізувати складну поведінку потоку за наявності внутрішніх і зовнішніх збурень. Проведено симетрійний аналіз, у якому виявлено безперервну групу обертань типу U(1) і дискретну симетрію за знаком Δ. Показано, що система може формувати інваріантний тор – двовимірну поверхню у фазовому просторі, яка відповідає режиму подвійної періодичності. Такий режим моделює хвилі типу «стоп-енд-гоу», характерні для реального транспортного потоку, і має фізичну інтерпретацію як узгоджена хвильова структура в середовищі з нелінійними збуреннями — аналог фазових хвиль у нелінійній оптиці або гідродинаміці. Досліджено вплив параметра Δ на топологію фазового простору. При малих його значеннях система демонструє квазіперіодичну поведінку, тоді як зі зростанням Δ з’являються режими з порушенням симетрії та хаотичними обертаннями. Встановлено, що навіть за умов запізнення в реакції водіїв симетрійна структура простору рішень частково зберігається. Проведено аналіз біфуркацій Хопфа та побудовано карти стійкості. Виявлено режим локалізованих обертань, за якого зростання фазового градієнта призводить до збільшення амплітуди коливань, що інтерпретується як поява квазістаціонарних хвиль уповільнення. У результаті переходу до зламаної симетрії структура інваріантного тора змінюється, що відображає формування нерівномірних фазових розподілів. У дисертації побудовано узагальнену багаторівневу модель транспортного потоку, яка поєднує елементи прикладної фізики: нелінійні, стохастичні й симетрійні ефекти. Такий підхід дозволяє всебічно охопити складну динаміку системи, описати механізми виникнення заторів і дослідити умови фазових переходів між режимами вільного руху та накопичення. У результаті формалізовано нову методологію для моделювання транспортного потоку як нерівноважної фізичної системи з самоорганізованою структурою та внутрішньою нестійкістю. Розроблені моделі дозволяють ідентифікувати критичні режими, за яких система втрачає стійкість під дією внутрішніх флуктуацій або зовнішніх збурень. Вони застосовні до ситуацій із зростаючим навантаженням, зокрема в умовах перевантаженої інфраструктури, складної геометрії мережі чи змінних обмежень. Урахування фізичних ефектів – таких як шум, час релаксації, затримки реакції та нерівномірність щільності – забезпечує точнішу оцінку ризиків фазового переходу, що є суттєвим доповненням до класичних моделей на основі систем ОДУ. Практична цінність одержаних результатів полягає в можливості їх використання в адаптивних підходах до керування рухом, які вимагають чутливості до локальних змін і короткострокових прогнозів. Зокрема, моделі можуть слугувати ядром для алгоритмів виявлення зон ризику, адаптації режимів світлофорного регулювання або оптимізації реверсивного руху. Також передбачається інтеграція моделей у гібридні симуляційні середовища, що поєднують фізичне моделювання з методами машинного навчання. Крім того, запропонований підхід має міждисциплінарний потенціал. Завдяки універсальним закономірностям нелінійної динаміки, розроблена модель може бути адаптована для аналізу аналогічних явищ у біологічних мережах, технічних або інформаційних системах. Це відкриває перспективу розвитку єдиного синергетичного підходу до опису складних фізичних процесів.

The dissertation is devoted to the study of traffic flow dynamics as an open physical system with a large number of interacting elements, exhibiting features of complex nonlinear media: phase transitions, bifurcations, instability, and self-similar behavior. The main focus is on the physico-mathematical modeling of traffic jam formation mechanisms, investigation of stability loss conditions and transitions between free flow and congestion regimes, as well as analysis of the influence of deterministic and stochastic factors on system behavior. The work considers three complementary approaches to describing the evolution of traffic flow: (1) a deterministic system based on classical Lorenz-type equations, (2) a stochastic model based on the Fokker–Planck equation, and (3) a complex nonlinear system with variables reflecting the phase structure of the flow. All models are structurally interconnected and represent different aspects of the complex behavior of traffic flow in environments with heterogeneity, reaction delays, and external perturbations. Chapter two presents a nonlinear traffic flow model developed in analogy with classical Lorenz equations. The model describes the interaction between braking, acceleration, and response to changes in the distance to the preceding vehicle within the framework of an open physical system with dynamic motion characteristics. The system dynamics are formalized as a three-dimensional system of differential equations with nonlinear couplings, where the main variables are the deviation from optimal distance η, velocity v, and characteristic reaction time τ. A qualitative analysis is conducted: phase portraits are constructed, linearization near equilibrium points is performed, and conditions for phase transitions are determined. Special attention is paid to the effect of parameter τₑ (the time to reach characteristic velocity) and the relaxation coefficients γ and κ on system stability. Critical parameter values leading to stability loss and transition to multiphase motion are identified. It is shown that changes in local parameters, such as average reaction time, can initiate macroscopic shifts in system behavior, demonstrating a typical multi-level response of physical systems to microscopic parameter variations. Within the model, various driver response scenarios are studied in terms of their impact on flow stability. It is found that for short reaction times, the system remains stable even when inter-vehicle gaps significantly decrease, while slow adaptation leads to self-oscillations and transitions to unstable regimes. Phase trajectory maps are constructed for various initial conditions and parameters characterizing braking and acceleration intensities. A classification of typical dynamic regimes is made depending on the ratio of relaxation parameters. Multistability zones are identified, where the system can reside in multiple stable states depending on perturbations. Scenarios of abrupt transitions to congestion triggered by local flow inhomogeneities are described. The model behavior aligns with empirical observations of real traffic. Chapter three is dedicated to investigating stochastic effects in traffic flow dynamics. A model based on the Fokker–Planck equation is developed, accounting for the influence of fluctuations Λ on system evolution. The primary variables are the order parameter r (flow density) and phase variable φ, characterizing speed variation. It is shown that random perturbations of intensity Dφ can induce self-excited transitions between regimes even in the absence of external influence. Numerical simulations of system trajectories under fluctuations of varying intensity are performed. For certain critical Dφ values, a self-oscillatory regime with increasing entropy complexity emerges. This regime is accompanied by the formation of unstable local clusters that may condense into macroscopic high-density structures, reflecting phase transition and clustering mechanisms analogous to those in condensed matter physics or unstable plasma. The effect of noise characteristics on system behavior is analyzed. Uncorrelated random perturbations mainly cause spontaneous flow decay, while correlated fluctuations can lead to regular self-oscillations. It is shown that when the time scales of internal oscillations match those of external fluctuations, a stochastic resonance effect arises, serving as an indicator of the system's approach to a critical state. Self-similarity spectra of time series are also constructed, and entropy complexity is assessed as a function of parameter Λ. Self-similar behavior is identified as a characteristic feature of the transition from equilibrium to turbulent regimes, indicating the presence of a phase transition. A physical interpretation of this phenomenon is proposed as a result of the collective influence of fluctuations and nonlinear interactions in dense traffic environments. Chapter four explores a generalized complex Lorenz model accounting for the phase structure of traffic flow, including frequency detuning Δ and symmetry properties of the dynamic system. The model variables describe the spatiotemporal evolution of velocity and phase, allowing analysis of complex flow behavior in the presence of internal and external perturbations. A symmetry analysis reveals a continuous U(1) rotation group and discrete symmetry under sign change of Δ. The system can form an invariant torus – a two-dimensional surface in phase space corresponding to a double-periodic regime. This regime models stop-and-go waves typical for real traffic flow and has a physical interpretation as a coherent wave structure in a medium with nonlinear disturbances – analogous to phase waves in nonlinear optics or hydrodynamics. The influence of parameter Δ on phase space topology is studied. For small values, the system exhibits quasi-periodic behavior, while with increasing Δ, symmetry-breaking and chaotic rotation regimes emerge. It is shown that even with delayed driver reactions, the symmetric structure of solution space is partially preserved. Hopf bifurcation analysis and stability maps are presented. A localized rotation regime is identified, where increasing phase gradient leads to larger oscillation amplitude, interpreted as quasi-stationary deceleration waves. Symmetry breaking alters the invariant torus structure, indicating non-uniform phase distributions. The dissertation develops a generalized multi-level traffic flow model that integrates elements of applied physics: nonlinear, stochastic, and symmetry effects. This approach allows comprehensive coverage of the system's complex dynamics, description of traffic jam formation mechanisms, and analysis of phase transition conditions between free flow and congestion. As a result, a new methodology for modeling traffic flow as a nonequilibrium physical system with self-organized structure and internal instability is formalized. The developed models allow identification of critical regimes where the system loses stability due to internal fluctuations or external perturbations. They are applicable to scenarios with increasing load, including overloaded infrastructure, complex network geometry, or variable constraints. Accounting for physical effects – such as noise, relaxation time, reaction delays, and density heterogeneity – ensures more accurate risk assessment of phase transition, serving as a substantial enhancement over classical ODE-based models. The practical value of the results lies in their applicability to adaptive traffic control approaches requiring sensitivity to local changes and short-term forecasts. In particular, the models can serve as core elements in algorithms for identifying risk zones, adapting traffic signal regimes, or optimizing reversible lane operations. Integration into hybrid simulation environments combining physical modeling with machine learning is also envisaged. Moreover, the proposed approach holds interdisciplinary potential. Due to universal patterns of nonlinear dynamics, the model can be adapted to analyze analogous phenomena in biological networks, technical or informational systems. This opens prospects for developing a unified synergetic framework for describing complex physical processes.