Influence of the Vector Order Parameter on the Dynamics of 3D Ultrashort Pulses in Carbon Nanotubes

Abstract

У роботі ми пропонуємо модель для врахування векторного параметра порядку у дослідженні еволюції ультракороткого оптичного імпульсу в середовищі з вуглецевими нанотрубками. Ми розглядаємо електричне поле імпульсу в тривимірній геометрії. Для опису динаміки системи, що розглядається, ми використовуємо феноменологічну теорію, розроблену А.З. Паташинським та В.Л. Покровським. З огляду на специфіку заданої проблеми, передбачається, що векторний параметр порядку пов'язаний з електричним полем, спрямованим уздовж осі нанотрубки. Для наочності ми розглядаємо сегнетоелектричне середовище з поляризацією, яке має три ненульові просторові компоненти. Спираючись на теорію Гінзбурга-Ландау, ми отримуємо основне рівняння руху для векторного параметра порядку. На основі рівнянь Максвелла ми знаходимо ефективне нелінійне хвильове рівняння в циліндричній системі координат. Ми використовуємо наближення, коли накопиченням заряду можна знехтувати. Тому в розподілі поля зберігається циліндрична симетрія. Система цих двох рівнянь дозволяє проаналізувати залежність форми тривимірних ультракоротких оптичних імпульсів від відстані від критичної точки фазового переходу. Це важливе спостереження на практиці може бути використане для експериментального визначення критичної точки. Показано, що ультракороткий оптичний імпульс поширюється стабільно без вторинного хвильового випромінювання. Енергія електромагнітного імпульсу зберігається в локалізованій області. Також проводиться порівняльний аналіз двох моделей параметра порядку (скалярний параметр порядку та векторний параметр порядку). Визначено вплив моделі параметра порядку на динаміку імпульсу. Запропонована методика дозволяє проводити спектроскопію шляхом зміни параметра порядку при зондуванні середовища ультракороткими імпульсами.

In this paper, we propose a model for taking into account the vector order parameter for studying the evolution of an ultrashort optical pulse in a medium with carbon nanotubes. We consider the electric field of the pulse in the three-dimensional geometry. To describe the dynamics of the considered system we use the phenomenological theory developed by A.Z. Patashinskii and V.L. Pokrovskii. Given the specificity of the problem at hand, it is assumed that the vector order parameter is related to the electric field directed along the nanotube axis. For the clarity, we consider a ferroelectric medium with the polarization, which has three nonzero spatial components. Based on the Ginzburg-Landau theory, we obtain the governing equation of motion for the vector order parameter. Based on Maxwell’s equations, we obtain the effective nonlinear wave equation in a cylindrical coordinate system. We use the approximation when the accumulation of charge can be neglected. Therefore, the cylindrical symmetry in the field distribution is preserved. The system of these two equations allows us to analyze the dependence of the shape of three-dimensional ultrashort optical pulses on the distance from the critical point of phase transition. That important observation can in practice be used to identify experimentally the critical point. We show that ultrashort optical pulse propagates stably without secondary wave radiation. The energy of the electromagnetic pulse is preserved in a localized region. Also a comparative analysis of two models of the order parameter (scalar order parameter and vector order parameter) is performed. The influence of the order parameter model on the dynamics of the pulse is determined. The proposed technique allows us to carry out the spectroscopy by changing the order parameter when probing the medium with ultrashort pulses.