Photon Flux Density in the Diffraction Pattern During Scattering of H-polarized Photons by the Infinite Grating of Metallic Strips

Abstract

Розв’язана задача про дифракцію Н-поляризованого світла при нормальному падінні на гратку, утворену необмеженою послідовністю нескінченно тонких металевих смуг. Застосовано квантово-механічний підхід до задачі дифракції. Світлова хвиля представлена у вигляді потоку частинок – фотонів. Ймовірність фотона в області перед та за граткою описується двовимірною псі-функцією – однозначною, неперервною та обмеженою, яка задовольняє двовимірному рівнянню Шредінгера. Строгий розв’язок задачі про визначення псі-функції фотона, розсіяного граткою, зводиться до граничної задачі Рімана-Гільберта. Розв’язок задачі отримано у вигляді нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Система придатна для будь-яких співвідношень між довжиною хвилі та періодом структури та будь-яких співвідношень між шириною щілини та шириною смуги, зручна для проведення чисельних розрахунків за допомогою ПК. Аналіз виразу для псі-функції дає можливість зробити наступний висновок. Фотони, пропущені або відбиті граткою, отримують дискретні значення імпульсу внаслідок взаємодії з граткою і відхиляються на дискретні кути від первинного напрямку. Максимуми інтенсивності на дифракційній картині з’являються в точках, куди надходять фотони, а мінімуми – в точках, куди фотони не надходять. Як випливає з аналізу значень імпульсу фотона, можливі значення складової імпульсу фотона, перпендикулярної до його початкового напрямку руху, визначаються парними значеннями "кванта" імпульсу, величина якого визначається періодом гратки. Цей результат може розглядатися як деяке правило відбору можливих значень складової імпульсу фотона. Як випливає з чисельних розрахунків, дифракційні максимуми розташовуються перед щілиною і мають деяку внутрішню структуру, залежно від співвідношення довжини хвилі та періоду гратки. При зменшенні відношення довжини хвилі до періоду гратки дифракційний пік виявляється злегка промодульованим. Коли відношення довжини хвилі до періоду гратки стає більше одиниці, дифракційна картина зникає, маємо однорідну освітленість.

The problem of diffraction of H-polarized light at normal incidence on an unlimited sequence of infinitely thin metallic strips is solved. A quantum-mechanical approach to the problem of diffraction is applied. Light wave is represented as a flow of particles – photons. Probability of a photon in front of and behind the grating is described by two-dimensional psi-function – single-valued, continuous and restricted, which satisfies the two-dimensional Schrödinger equation. A strict solution of the problem about determination of psi-function of a photon dissipated by the grating is led down to the boundary Riemann-Hilbert problem. The solution is obtained in the view of the convergent infinite system of linear algebraic equations. The system is suitable for any relation between the wavelength and the period of the structure and any relation between the width of a slit and the width of a strip and is convenient for numerical calculations with the help of PC. Analysis of the expressions obtained for psi-function gives the possibility to conclude the following. Photons passed through or reflected by the grating get the discrete values of momentum during the interaction with the grating and deviate at discrete angles which are determined by the obtained expressions. There are intensity maxima in the points where photons come and minima – in the points where photons do not come. As follows from the analysis of the values of the photon momentum, the possible values of the constituent of the photon momentum perpendicular to its initial direction of motion are determined by even values of the "quantum" of momentum which magnitude is determined by the grating period. This result may be examined as a rule of selection of possible values of the perpendicular constituent of the photon momentum. As follows from numerical calculations, the diffraction maxima are located in front of a slit and have some internal structure, depending on the relation between the wavelength and the grating period. When the ratio of the wavelength to the grating period decreases, the diffraction peak turns out to be slightly modulated. When the ratio of the wavelength to the grating period is more than one, the diffraction pattern vanishes and we have homogeneous illuminance.