Treatment of Nonlinear Electrical Circuits by the Caputo-Fabrizio Derivative

Abstract

Капуто та Фабріціо нещодавно запропонували нову похідну дробового порядку без сингулярного ядра, яка підходить для перетворення Лапласа та має багато цікавих властивостей, які спонукали до її використання для вирішення та моделювання багатьох явищ у різних галузях науки. У роботі ми обробили дробові диференціальні рівняння нелінійних електричних кіл, використовуючи визначення похідної Капуто-Фабріціо. Дійсно, ми перетворили дробові диференціальні рівняння, що описують RC, RL та LC кола, у диференціальне рівняння звичайного порядку. Потім ми визначили явні розв’язки цих диференціальних рівнянь. Для RC-ланцюга ми досліджували зміни заряду з часом і з порядком похідних і виявили, що для всіх значень крива зберігає свою загальну форму. На відміну від постійної часу, яка зростає зі збільшенням альфа, ми встановили, що q0 не має відношення до неї. Для ланцюга RL досліджено зміни електричного струму з часом для різних значень альфа, і ми виявили, що максимальний струм I0 не змінюється з порядком похідної. Крім того, для LC-ланцюга ми досліджували зміни заряду для різних значень альфа та показали, що форма вібрації LC пов’язана з порядком похідної. Для LC-ланцюга вібрація є синусоїдальною, а вібрація RC-ланцюга є затухаючою вібрацією. Щоб підтвердити отримані результати, ми знайшли схожі результати в літературі.

Caputo and Fabrizio have recently proposed a new fractional order derivative without singular kernel, which is suitable for the Laplace transform and has many interesting properties that motivated its use to solve and model many phenomena in various branches of science. In our work, we have treated the fractional differential equations of nonlinear electrical circuits by using the definition of Caputo-Fabrizio derivative. Indeed, we have transformed the fractional differential equations, describing RC, RL and LC circuits, into an ordinary order differential equation. Then we have determined explicit solutions to these differential equations. For the RC circuit, we studied changes in charge with time and with derivative order and we found that for all values, the curve retains its general shape. In contrast to the time constant, which increases as alpha increases, we established that q0 has no relationship to. For the RL circuit, time variations of electric current are investigated for various alpha values, and we found that the maximum current I0 does not change with derivative order. Also, for the LC circuit, we studied charge changes for various alpha values, and we showed that the shape of the LC vibration is related to the derivative order. For the LC circuit, the vibration is a sine wave, and the RC circuit vibration is a damped vibration. To validate our obtained results, we found the familiar results.